内角和公式
三角形内角和定理以及它的推论，是一个非常简洁好用的定理，很多角度的问题没有了它的支撑，将无法完成，下面我们一起来见证它的神奇应用吧。
例1、如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C
思路1：用三角形内角和定理：连结BC，在△ABC和△DBC中，有∠A+∠B+∠C=180°－(∠DBC+∠DCB)，∠BDC=180°－(∠DBC+∠DCB)，从而有结论。
思路2：用三角形内角和定理推论
方法1、如图1，连结AD并延长，∠BDE是△ABD的一个外角，∠CDE是△ADC的一个外角，用外角等于不相邻两个内角的和，可得结论。
方法2、见图2，延长BD交AC于E，∠DEC是△ABE的一个外角，∠BDC是△DCE的一个外角，同样可得结论。
说明：在寻找几个角之间的关系时，如果图中没有基本图形，通过作辅助线，构造基本图形三角形是常用的方法。
变式练习：
下面这题你会解吗？
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C，若△ABC中，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=______度，
（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；
（3）如果（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，请直接写出∠ABX+∠ACX的大小．
简析:本题直接用例1结论就可。答案：(1)50°。(2)不变。(3)90°－n。
例2、Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=______°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由。
分析：(1)如下图1，只要连结PC，用三角形定理推论，很快得到∠1、∠2、∠α、∠C的关系是∠1+∠2=∠α+∠C，与点P在AB上的位置无关，第(1)、(2)同时解决。
(2)点P在AB延长线上，需要考虑P、D、E三点的位置状况，分三种情况讨论①点D在线段PE上方②，D在线段PE上，③D在线段PE下方。见下图2,图3，图4。
答案：(1)140°，(2)∠1+∠2=∠α+90°，(3)①点D在PE上方，∠2=90°+∠1+∠α②点D在PE上，此时∠α=0°，∠2=90°+∠1，
③点D在PE下方，∠2=90°+∠1-∠α，
例3、已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α= ，β= ．
②写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请写出α与β的数量关系，并说明理由．
(3)如图(3)，若点D在CB的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出α与β的数量关系
分析：(1)如图(1)，∠AED是△DEC的一个外角，∠ADC是△ABD的一个外角，可得关系式α=2β．
(2)如图(2)，∠ADC是△ABD的一个外角，在△EDC中，根据三角形内角和定理可得一个等量关系式，消去未知量，可得关系式2β-α=180°，
(3)如图(3)，同法可得2β+α=180°。
三角形内角和定理及推论在几何中的地位不可小看，同学们可得好好认识它，在解题中领悟其中的奥妙。
